\underline{1}

Model número 1

1. Trieu la resposta correcta (a) La solució de (x + 3)^{2} ≤ 9 és l’interval (−6, 0).

(b) La solució de \frac{x − 1}{x + 4} > 1 és IR − \{−4\}.

(c) La solució de (x + 1)^{2} ≤ 16 és l’interval [−5, 3).

(d) La solució de |2x − 2| > x + 5 és (−∞, −1) ∪ (7, +∞).

(e) La solució de |2x − 2| = x + 5 és x = 7.

(f) Cap de les anteriors.

2. Què val el logaritme neperià del número z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i? Suposat que k = 1, 2, 3, …,

(a) z_{1} = 1 + 2kπi  (b) z_{2} = 2 + (\frac{π}{4} + 2kπ) i  (c) z_{3} = 2 + (\frac{π}{4} + kπ) i
(d) z_{4} = 2 − (\frac{2π}{3} + 2kπ) i (e) Cap de les anteriors.

3. Donada la següent funció f(x) = \{ \begin{matrix}x sin \frac{1}{x} & si x ≠ 0, \\ 0 & si x = 0. \end{matrix}

(a) f és discontínua en x = 0.  (b) No existeix f′(0).  (c) f′(0) = 0.
(d) f′(0) = ∞.  (e) Cap de les anteriors.

4. Trieu l’enunciat correcte:

(a) Si f és una funció contínua en [a, b] i f(a) < c < f(b), aleshores hi ha algun α ∈ (a, b) tal que f(α) = c.

(b) Sigui f una funció real de variable real i a ∈ IR, tal que f(a) ≠ 0. Aleshores hi ha un entorn de a en el qual f(x) té el mateix signe que f(a).

(c) Sigui f una funció contínua en (a, b) tal que Signe f(a) ≠ Signe f(b). Aleshores f s’anul·la en algun punt de (a, b).

(d) Si f és una funció afitada en un entorn del punt a, aleshores f és contínua en a.

(e) Cap dels enunciats anteriors és correcte.

5. Trieu l’enunciat correcte:

(a) Si f és una funció integrable en (a, b), aleshores f és derivable en (a, b).

(b) Si f és una funció integrable en (a, b), aleshores f és contínua en (a, b).

(c) Si f és una funció contínua en (a, b) aleshores és integrable en (a, b).

(d) Cap dels enunciats anteriors és correcte.

\underline{2}

6. Assenyaleu l’opció correcta:

(a) ln(a − b) = \frac{ln a}{ln b}.  (b) ln \frac{a}{b} = ln a − ln b.
(c) ln(a · b) = ln a · ln b.  (d) ln(a + b) = ln a + ln b.

(e) Cap propietat anterior és correcta.

7. Siguin s i l dos números reals. Assenyaleu l’opció correcta:

(a) Si ∑_{n≥1} a_{n} = s aleshores ∑_{n≥1} |a_{n}| = |s|. (b) Si lim |a_{n}| = l aleshores lim a_{n} = l.
(c) Si ∑_{n≥1} |a_{n}| = |s| aleshores ∑_{n≥1} a_{n} = s. (d) Si lim a_{n} = l aleshores lim |a_{n}| = |l|.

(e) Cap propietat anterior és correcta.

8. Assenyaleu l’opció correcta:

(a) Si f és una funció contínua i derivable en l’interval (a, b), i f(a) = f(b) = 0, aleshores ∃c ∈ (a, b) tal que f′(c) = 0.

(b) Si f és una funció contínua en [a, b] i derivable en l’interval (a, b), i f(a) = f(b), aleshores ∃c ∈ (a, b) tal que f′(c) = 0.

(c) Si f és una funció contínua en [a, b] i derivable en l’interval (a, b), i f′(c) = 0 per algun c ∈ (a, b), aleshores f(a) = f(b).

(d) Si f és una funció contínua i derivable en l’interval (a, b), i f(a) = f(b), aleshores ∃c ∈ (a, b) tal que f′(c) = 0.

(e) Cap propietat anterior és correcta.

9. Una primitiva de f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2} és

(a) x^{2} − \frac{1}{2} ln(x^{2} + 2) + C.  (b) ln(x^{2} + 2) + C.
(c) x − ln x^{2} + C.  (d) \frac{x^{2}}{2} − ln(x^{2} + 2) + C.

(e) Cap propietat anterior és correcta.

10. Sabent que ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} = e, la suma de la sèrie ∑_{n≥1} \frac{n^{2} + 1}{n!} és

(a) e.  (b) 3e − 1.  (c) 3e.
(d) + ∞.  (e) Cap de les anteriors és correcta.

\underline{3}

Solució al model número 1

Les respostes correctes a cada qüestió són: 1-(d); 2-(b); 3-(b); 4-(a); 5-(c); 6-(b); 7-(d); 8-(b); 9-(d); 10-(b). Anem a veure el perquè:

Qüestió 1 Facem cada apartat i calculem quina seria la corresponent solució (a) Dibuixem la situació

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................^{...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −6 0 y = 9 y = (x + 3)^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Resolem l’equació (x + 3)^{2} = 9: x + 3 = ±3 ⟹ x = −6, x = 0

El que queda per davall la recta y = 9 és el tros de gràfica compresa entre −6 i 0, incloent-hi els dos extrems, ja que la desigualtat és menor o igual. La solució seria, en aquest cas, Sol = [−6, 0]

(b) Dibuixem la situació

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................^{...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................} .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. y = 1 | −4 y = \frac{x − 1}{x + 4}^{..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..} .....................................................................................................................................................................................................................................

Ja es veu que la part de corba de y = \frac{x − 1}{x + 4} més gran que 1 és des de −∞ fins a −4. Aleshores la solució seria

Sol = (−∞, −4)

\underline{4}

(c) Dibuixem la situació

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................^{...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −5  3 y = 16 y = (x + 1)^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Resolem l’equació (x + 1)^{2} = 16:

x + 1 = ±4 ⟹ x = −5, x = 3

El que queda per davall la recta y = 16 és el tros de gràfica compresa entre −5 i 3, incloent-hi els dos extrems, ja que la desigualtat és menor o igual.

La solució seria, en aquest cas, Sol = [−5, 3]

(d) Dibuixem

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................}^{................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................} −1  7 y = x + 5 y = |2x − 2| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Resolem |2x − 2| = x + 5. Tenim

\begin{aligned}2x − 2 = x + 5 & ⟹ x = 7 \\ −(2x − 2) = x + 5 & ⟹ x = −1 \end{aligned}

Aleshores, el tros de corba de y = |2x − 2| per damunt de la recta y = x + 5 és

Sol = (−∞, −1) ∪ (7, +∞)

(e) Tenint en compte el càlcul de l’apartat anterior, la solució en aquest cas seria x = −1 i x = 7.

Llavors, la resposta correcta és (d).

Qüestió 2 Calculem el ln z. Aquest val ln z = c + di on

c = |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = 2, i d = arg(z) + 2kπ = arctan 1 + 2kπ = \frac{π}{4} + 2kπ

Llavors, la resposta és (b).

Qüestió 3 (a) Vegem la continuïtat

lim_{x→0} x sin \frac{1}{x} = 0 · (funció fitada) = 0 = f(0)

Llavors és contínua a 0.

(b) Vegem la derivabilitat

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x − 0} = lim_{x→0} \frac{x sin \frac{1}{x}}{x} = lim_{x→0} sin \frac{1}{x} = ∄

No existeix la derivada en el punt 0.

(c) Si la derivada en el punt 0 no existeix, aleshores és fals que f′(0) = 0.

(d) Anàlogament amb f′(0) = ∞

Llavors, la resposta és (b).

Qüestió 4 Facem cada apartat:

(a) És el teorema del valor mig per a funcions contínues.

(b) Perquè això sigui cert, f ha de ser contínua.

(c) També ha de ser contínua perquè es pugui complir.

(d) Aquest apartat és fals, ja que la funció

f(x) = \{ \begin{matrix}x + 1 & si x ∈ [0, 1) \\ x − 1 & si x ∈ [1, 2] \end{matrix}

està fitada dins l’interval [0, 2] i no és contínua. Aleshores, la resposta bona és (a)

Qüestió 5

(a) No. Per exemple la funció f(x) = E[x], part sencera de x, és integrable en qualsevol interval i no és contínua (i, llavors, tampoc derivable).

(b) No. L’exemple anterior és igualment vàlid.

(c) Cert, per la proposició ??.

Aleshores, la resposta bona és (c)

Qüestió 6 De les propietats de la funció logaritme sabem que l’únic apartat correcte és el (b). Aleshores, la resposta bona és (b)

Qüestió 7 Facem cada apartat:

(a) És fals. Per exemple, ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n} és una sèrie alternada que, segons el criteri de

Leibnitz, és convergent. En canvi, la mateixa sèrie en valor absolut és

∑_{n≥1} |\frac{(−1)^{n}}{n} | = ∑_{n≥1} \frac{1}{n}

que és la sèrie harmònica, divergent.

(b) Fals. Per exemple, la successió a_{n} = −\frac{n + 1}{n} té límit −1, i en valor absolut té límit +1.

(c) Fals. Agafem la sèrie ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , que sabem que és convergent pel criteri de

Leibnitz. Calculem la seva suma.

∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} = ∑_{k≥1} ( \frac{1}{(2k)^{2}} − \frac{1}{(2k − 1)^{2}} ) = ∑_{k≥1} \frac{1}{(2k)^{2}} − ∑_{k≥1} \frac{1}{(2k − 1)^{2}}

Usant el problema ??, apartats (c) i (d), de la pàgina ??, tenim que

∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{24} − \frac{3π^{2}}{24} = −\frac{π^{2}}{12}

Llavors, la sèrie ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} = −\frac{π^{2}}{12} , i, en canvi, la sèrie

∑_{n≥1} |\frac{(−1)^{n}}{n^{2}} | = ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

Les sumes són distintes.

(d) Aquesta és certa, ja que la funció y = |x| és una funció contínua en tot IR; i ja sabem que si f(x) és contínua i lim a_{n} = l aleshores lim f(a_{n}) = f(l).

La resposta correcta és (d).

Qüestió 8 (a) Fals. La funció f ha de ser contínua dins l’interval tancat.

(b) Cert. És el teorema de Rolle.

(c) És fals. Per exemple la funció y = x^{2} compleix les condicions dins l’interval [−1, 3] i, en canvi, f(−1) ≠ f(3).

\underline{7}

(d) Fals. La funció f ha de ser contínua dins l’interval tancat. Llavors, la resposta correcta és (b).

Qüestió 9

Integrem la funció:

∫ \frac{x^{3}}{x^{2} + 2} dx = ∫ (x − \frac{2x}{x^{2} + 2}) dx = \frac{x^{2}}{2} − ln(x^{2} + 2) + C

Llavors (d) és la resposta correcta. Qüestió 10

Calculem la suma:

∑_{n≥1} \frac{n^{2} + 1}{n!} = ∑_{n≥1} \frac{n^{2}}{n!} + ∑_{n≥1} \frac{1}{n!} = ∑_{n≥1} \frac{n}{(n − 1)!} + ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} − 1 = ∑_{n≥1} \frac{n − 1 + 1}{(n − 1)!} + e − 1 =

= ∑_{n≥1} \frac{n − 1}{(n − 1)!} + ∑_{n≥1} \frac{1}{(n − 1)!} + e − 1 = \frac{0}{0!} + ∑_{n≥2} \frac{n − 1}{(n − 1)!} + ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} + e − 1 =

= 0 + ∑_{n≥2} \frac{1}{(n − 2)!} + 2e − 1 = ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} + 2e − 1 = 3e − 1

La resposta correcta és, doncs, (b).