Errates dels capítols 1 i 2

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir
14 / def. 5  b_{ij} = α · a_{i,j}  b_{ij} = α · a_{ij}
14 / def. 6  p_{ij} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}  p_{ij} = ∑_{k=1}^{m} a_{ik}b_{kj}
15 / def.17  a_{ij} = 0 per j ≥ i  a_{ij} = 0 per j > i
15 / def.19  a_{ij} = 0 per j ≥ i  a_{ij} = 0 per j > i

16 / prop.25 En el cas en que A i B siguin matrius regulars, si k ≠ 0, (kA)^{−1} = \frac{1}{k} A^{−1} En el cas en que A sigui una matriu regular, si k ≠ 0, (kA)^{−1} = \frac{1}{k} A^{−1}

17 / - i, passant-ho al segon membre i reordenant

(1 − a_{11})P_{1} + a_{12}P_{2} + … + a_{1n}P_{n} = D_{1}
a_{21}P_{1} + (1 − a_{22})P_{2} + … + a_{2n}P_{n} = D_{2}
…  .
a_{n1}P_{1} + a_{n2}P_{2} + … + (1 − a_{nn})P_{n} = D_{n}

i, passant-ho al segon membre i reordenant

(1 − a_{11})P_{1} − a_{12}P_{2} − … − a_{1n}P_{n} = D_{1}
−a_{21}P_{1} + (1 − a_{22})P_{2} − … − a_{2n}P_{n} = D_{2}
…  .
−a_{n1}P_{1} − a_{n2}P_{2} − … + (1 − a_{nn})P_{n} = D_{n}

25 / prob. 3 (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) del sistema (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) -La resta de l’exercici està bé-

27 / prob.5(b)  \begin{matrix}P = M^{2} + I = \\ ( \begin{matrix}x^{2} − 1 & xy & xz \\ xy & y^{2} − 1 & yz \\ xz & yz & z^{2} − 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) \\ = … \end{matrix} \begin{matrix}P = M^{2} + I = \\ ( \begin{matrix}x^{2} − 1 & xy & xz \\ xy & y^{2} − 1 & yz \\ xz & yz & z^{2} − 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) \\ = … \end{matrix}

29 / prob. 7  \begin{matrix}A = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) \\ = ( \begin{matrix}0 & −1 & −2 \\ 1 & 0 & −1 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix} ) \end{matrix}  \begin{matrix}A = \frac{1}{2} [( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} )] \\ = ( \begin{matrix}0 & −1 & −2 \\ 1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) \end{matrix}

B = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} )  B = \frac{1}{2} [( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} )]
29 / prob. 8  3a f.-\frac{1}{2}×1a f.  3a f.-\frac{1}{2}×2a f.
31 / prob.10 a) ( \begin{matrix}\frac{3}{4} & 1 & −\frac{1}{2} \\ −\frac{11}{2} & \frac{7}{3} & 8 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}−\frac{3}{4} & −1 & \frac{1}{2} \\ 4 & −\frac{7}{3} & −5 \end{matrix} )

34 / prob.13 b)  | \begin{matrix}1 & −3 \\ 5 & 2 \end{matrix} | = −13  | \begin{matrix}1 & −3 \\ 5 & 2 \end{matrix} | = 17
38 / prob.16  A_{t=1} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix} ) i A_{t=2} = ( \begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} )  A_{t=1} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ −3 & 0 & 4 \end{matrix} ) i A_{t=2} = ( \begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ −5 & 0 & 5 \end{matrix} )
44 / prob.24  B^{−n} = I − nA + \frac{n(n − 1)}{2}A^{2}  B^{−n} = I − nA + \frac{n(n + 1)}{2}A^{2}

45 / prob.25  ( \begin{matrix}1 & 3 & 6 & 10 & .... & \frac{n(n − 1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 6 & .... & \frac{(n − 1)(n − 2)}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 & .... & \frac{(n − 2)(n − 3)}{2} \\ . & . & . & . & .... & . \\ . & . & . & . & .... & . \\ . & . & . & . & .... & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .... & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 3 & 6 & 10 & .... & \frac{n(n + 1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 6 & .... & \frac{(n − 1)n}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 & .... & \frac{(n − 2)(n − 1)}{2} \\ . & . & . & . & .... & . \\ . & . & . & . & .... & . \\ . & . & . & . & .... & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .... & 1 \end{matrix} )

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir

45 / prob.27 ( \begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ 3a + d + g & 3b + e + h & 3c + f + i \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ 3a + d + 2g & 3b + e + 2h & 3c + f + 2i \end{matrix} )

i, per tant, la solució del problema és

B = ( \begin{matrix}a & b & 0 \\ 3i − 3a − g & i − 3b − h & 0 \\ g & h & i \end{matrix} )

47 / prob.31  ( \begin{matrix}1.57895 & 0.526316 \\ 0.526316 & 1.84211 \end{matrix} )^{−1} · ( \begin{matrix}50 \\ 40 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}100 \\ 100 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1.57895 & 0.526316 \\ 0.526316 & 1.84211 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}50 \\ 40 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}100 \\ 100 \end{matrix} )

61 / prob. 9 e) la penúltima fila del segon determinant és 0 0 0 … 0 2n la penúltima fila del segon determinant ha de ser 0 0 0 … n − 1 2n

Errates del capítol 3

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir

67 / Exemple  x = \begin{matrix}| & \begin{matrix}1 + z & 1 \\ 2 + z & −1 \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} & | \end{matrix} = \frac{3+2z}{−3}  x = \begin{matrix}| & \begin{matrix}1 + z & 1 \\ 2 + z & −1 \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} & | \end{matrix} = \frac{3+2z}{3}

82 / prob. 2  (g) \{ \begin{matrix}(a + 2)x + y + z & = & a − 1 \\ ax + (a − 1)y + z & = & a − 1 \\ (a + 1)x + (a + 1)z & = & a − 1 \end{matrix}  (g) \{ \begin{matrix}x & +y & +z & = a \\ x & +(1 + a)y & +z & = 2a \\ x & +y & +z & = 4 \end{matrix}

(h) \{ \begin{matrix}x & +y & +z & = a \\ x & +(1 + a)y & +z & = 2a \\ x & +y & +z & = 4 \end{matrix}  (h) \{ \begin{matrix}(a + 2)x + y + z & = & a − 1 \\ ax + (a − 1)y + z & = & a − 1 \\ (a + 1)x + (a + 1)z & = & a − 1 \end{matrix}

89 / pb. 2 d)  \begin{aligned}x + y + z & = & 1 \\ −x + y + z & = & 1 \end{aligned}  \begin{aligned}x + y + z & = & −1 \\ −x + y + z & = & 1 \end{aligned}

i en conseqüència les solucions que teníem x = 0, y = 1 − z

són, ara x = −1, y = −z

92 / pb. 2 g)

⋆ a = 4. Els ... el sistema és compatible determinat ⋆ a = 4. Els ... el sistema és compatible indeterminat

Errates del capítol 5

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir
110 / prob. 4  ( \begin{matrix}a^{2} + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )  ( \begin{matrix}a^{2} + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

116 / prob.18 Falta trobar una base i la dimensió en cada apartat. La solució del que falta seria:

(a) Els elements de V_{1} són de la forma (x, y, z, t) = (x, 2x, z, x + z) (ja que y = 2x i t = x + z). Per tant,

(x, y, z, t) = (x, 2x, z, x + z) = (x, 2x, 0, x) + (0, 0, z, z) = x(1, 2, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1)

D’on tenim que una base és V_{1} =< (1, 2, 0, 1); (0, 0, 1, 1) >, ja que genera V_{1} (ho acabem de veure) i són L.I. Com que la base està formada per dos vectors, la dimensió de V_{1} és 2.

(b) V_{2} no és subespai vectorial de R^{4}. Per tant no té base ni dimensió

(c) Els elements de V_{3} són de la forma (x, y, z) = (x, y, 2x + y) (ja que z = 2x + y). Per tant,

(x, y, z) = (x, 2x, 2x + y) = (x, 2x, 2x) + (0, 0, y) = x(1, 2, 2) + y(0, 0, 1)

D’on tenim que una base és V_{3} =< (1, 2, 2); (0, 0, 1) >, ja que genera V_{3} (ho acabem de veure) i són L.I. Com que la base està formada per dos vectors, la dimensió de V_{3} és 2.

(d) Els elements de V_{4} són de la forma ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix} ) (ja que a + d = 0 ⟹ d = −a). Per

tant,

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix} ) = a ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) + b ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) + c ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

D’on tenim que una base és V_{4} =< ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ); ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ); ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) >, ja que genera V_{4} (ho acabem de veure) i

són L.I. Com que la base està formada per tres vectors, la dimensió de V_{4} és 3.

(e) Els elements de V_{5} són de la forma p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} = 0 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}. Per tant, podem considerar els elements de V_{5} com p(x) = (0, a_{1}, a_{2}, a_{3}). Per tant,

(0, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1}(0, 1, 0, 0) + a_{2}(0, 0, 1, 0) + a_{3}(0, 0, 0, 1)

D’on tenim que una base és V_{5} =< (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1) >, ja que genera V_{5} (ho acabem de veure) i són L.I. Com que la base està formada per tres vectors, la dimensió de V_{5} és 3.

(f) Els elements de V_{6} són de la forma ( \begin{matrix}a & b \\ b & d \end{matrix} ). Per tant,

( \begin{matrix}a & b \\ b & d \end{matrix} ) = a ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) + b ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) + c ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

D’on tenim que una base és V_{4} =< ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ); ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ); ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) >, ja que genera V_{6} (ho acabem de veure) i

són L.I. Com que la base està formada per tres vectors, la dimensió de V_{6} és 3.

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir

119 / prob.19 x = −2y − 3s + t i z = 2s − 2t x = −2y + 5s − 7t i z = −2s + 2t i a partir d’aquí fer les correccions de càlcul adients.

121 / prob.23  Per tant, la dimensió és 2 ...  Per tant, la dimensió és 3 ...
123 / prob.25  6 −35 0 0 24 (a la matriu)  6 −3 0 0 24 (a la matriu)
0 1 0 0 2 (a les matrius)  0 −1 0 0 2 (a les matrius)

127 / prob.26-d una base de U + V serà {(1, 2, −1, 2), (0, 2, 4, 3), (0, 0, 4, 1)} i dim U + V = 3.

una  base  de  U + V  serà

{(1, 2, −1, 2), (0, 2, 4, 3), (0, 0, 4, 1), (0, 0, 38, 17)} i dim U + V = 4.

0 0 10x − 4y + 2z 4x − 3y + 2t 0 0 10x − 4y + 2z 2x − 3y + 2t (i a

partir d’aquí fer les correccions adients. La solució de U ∩ V està bé.)

130 / prob.27-d 0 0 −6 −8 2 (a les matrius)  0 0 −6 −8 −2 (a les matrius)
131/pb.28-a-b-c de B a S  de S a B
de S a B  de B a S
154 / prob.8  Nuc f =< (−1, 1, −1) >  Nuc f =< (−1, 1, 1) >

162 / prob.21 y = −z y = z, i a partir d’aquí fer les correccions de càlcul adients, tinguent en compte que ara el Nuc f =< (1, 1, 1) > i que la imatge està generada per {(0, 1, −1), (−1, 0, 1), (1, −1, 0)}.

164 / prob.22  A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) . ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) . ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

La resta de l’exercici està bé.

171 / prob.29 c) y + t = 0  y + 5t = 0
175 / prob.32  ( \begin{matrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{n}·( \begin{matrix}a_{1} \\ b_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{n}·( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{n}·( \begin{matrix}a_{1} \\ b_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{n}·( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

176 / prob.32 ... l’equació: −\sqrt{2}x + 2y = 0 que té per

solució y = −\frac{\sqrt{2}}{2}x.

... l’equació: \sqrt{2}x+2y = 0 que té per solució

y = −\frac{\sqrt{2}}{2}x.

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir

179 / prob.34 Resolguem el sistema per Gauss

( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

ens queda, per tant, el sistema format per les equacions:

y + z = 0
x + z = 0

que té per solucions: x = −z, y = −z. Aleshores els elements de E(a) seran de la forma (x, y, z) = (−z, −z, z) = z(−1, −1, 1) i, per tant, E(a) =< (−1, −1, 1) >.

Ens queda, per tant, el sistema format per les equacions:

y + z = 0
x = 0

que té per solucions: x = 0, y = −z.

Aleshores els elements de E(a) seran de la forma (x, y, z) = (0, −z, z) = z(0, −1, 1) i, per tant, E(a) =< (0, −1, 1) >.

180 / prob.34 Una base formada per vectors propis serà {(−1, −1, 0), (1, 1, 0), (−1, 1, 0)} Una base formada per vectors propis serà {(0, −1, 1), (1, 1, 0), (−1, 1, 0)}

181 / prob.34  ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & −2 \\ −1 & −1 & 2 − a \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & a \\ 1 & 1 & −2 \\ −1 & −1 & 2 − a \end{matrix} )
185 / prob.35  (2a col. + 1a col.)  (2a col. - 1a col.)
190 / prob.39  w = (3, −5, 2)  w = (3, −5, −2)
\begin{matrix}M′ = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )^{−1} · ( \begin{matrix}3 & 3 & −2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) = \\ ( & \begin{matrix}\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & −1 \\ 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix} & ) \end{matrix} \begin{matrix}M′ = ( \begin{matrix}3 & 3 & −2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )^{−1} = \\ ( & \begin{matrix}\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & −1 \\ 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix} & ) \end{matrix}

246 / prob. 2  −8z − 42t = 0  −8z − 4t = 0

265 / prob. 4 a) x = 5 i y = 4 i, per tant, les coordenades són (5, 0) x = 5 i y = 4 i, per tant, les coordenades són (5, 4)

267 / prob.1 a)  A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} )  A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

274 / prob. 4  T (A) = A · N  T (A) = N · A

278 / prob. 4  ( \begin{matrix}7 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & −1 \\ −5 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & −5 & 0 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}7 & 0 & −5 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & −5 \\ −1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 3 \end{matrix} )

279 / prob. 4 P = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) P = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

i refer els càlculs. La matriu P^{−1} està bé, però A′ = P^{−1} · A · P dóna:

A′ = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & −5 & −5 \\ 0 & −1 & 3 & −5 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{matrix} )

Errates dels capítols 6 i 7

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir

234 / prob.16 al final En aquesta taula, la columna corresponent a y_{6} té el z_{6} − c_{6} < 0 amb les components de la resta de la columna no positives.

En aquesta taula, la columna corresponent a y_{6} té el z_{6} − c_{6} = 5 > 0 amb les components de la resta de la columna no positives.

Pàgina 248, apartat (c). La resolució del problema no és correcte per errors en el càlcul.

La solució correcte és així:

(c) Recordem com quedava plantejat el problema de programació lineal en forma estàndard

Mín. z = −800x_{1} − 650x_{2}
amb restriccions  3x_{1} − x_{2} + x_{3} = 0
x_{1} + x_{2}  + x_{4} = 500
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ≥ 0

amb solució bàsica factible (0,0,0,500). Escriguem la primera taula del mètode del símplex

c_{1} = −800 c_{2} = −650 c_{3} = 0 c_{4} = 0
c^{B}  x^{B}  y_{1}  y_{2}  y_{3}  y_{4}  Qc.
0  x_{3} = 0  3  −1  1  0  \frac{0}{3} = 0 → Surt x_{3}
0 x_{4} = 500  1  1  0  1  \frac{500}{1} = 500
z = 0  800  650  0  0
Entra x_{1}

Es compleixen les condicions per les quals la solució és millorable, per tant, aplicarem l’algoritme del símplex. Dels dos quocients, el mínim valor estrictament positiu o zero és 0, per tant surt x_{3} i entra x_{1}. Llavors, pivotarem sobre l’element^{1} y_{31} = 3. Com que no és 1, dividim tota la fila per 3, quedant

c_{1} = −800 c_{2} = −650 c_{3} = 0 c_{4} = 0
c^{B}  x^{B}  y_{1}  y_{2}  y_{3}  y_{4}
0  x_{1} = 0  1  − \frac{1}{3}  \frac{1}{3}  0
0 x_{4} = 500  1  1  0  1
z = 0  800  650  0  0

i ara aconseguirem zeros a la resta de la columna. Per això farem 2a fila - 1a fila i 3a fila - 800·1a fila. La taula queda

c^{B}  x^{B}  y_{1}  y_{2}  y_{3}  y_{4}  Qc.
−800 x_{1} = 0  1  − \frac{1}{3}  \frac{1}{3}  0 _{\frac{0}{\frac{−1}{3}}} = 0 però y_{12} < 0
0  x_{4} = 500 0  \frac{4}{3}  − \frac{1}{3}  1 _{\frac{500}{\frac{4}{3}}} = 375 → Surt x_{4}
z = 0  0  \frac{2750}{3}  − \frac{800}{3} 0
Entra x_{2}

Aquí, malgrat el menor quocient no negatiu sigui 0, com hem dividit per un número negatiu ( \frac{x_{1}}{y_{12}} = _{\frac{0}{\frac{−1}{3}}} = 0),

no el podem considerar; per tant triem l’altre valor. Com abans, la solució és millorable. Ara el mínim quocient positiu és 375. Llavors, pivotarem sobre l’element requadrat que és y_{42} = \frac{4}{3}.

En aquest cas tampoc és 1; per tant, dividirem tota la primera fila per \frac{4}{3} i així tindrem un 1. Després,

aconseguirem zeros a la resta de la columna fent: 1a fila + \frac{1}{3}·2a fila i 3a fila - \frac{2750}{3}·2a fila. La taula queda

1Amb la notació emprada a la teoria, si surt la variable x_{3} i entra la variable x_{1}, corresponent a la columna y_{1}, llavors l’element pivot és y_{31}

c^{B}  x^{B}  y_{1} y_{2} y_{3}  y_{4}
−800  x_{1} = 125  1 0  \frac{1}{4}  \frac{1}{4}
−650  x_{2} = 375  0 1 − \frac{1}{4}  \frac{3}{4}
z = −343750 0 0 − \frac{75}{2} − \frac{1375}{2}

En aquesta taula, totes les z_{j} − c_{j} per j no bàsiques són negatives, per tant, hem arribat a una solució òptima, que és (125,375,0,0) amb valor mínim z = −343750.

Llavors, la solució del problema és x_{1} = 125 (capses de tipus A) i x_{2} = 375 (capses de tipus B) amb valor màxim z = 343750.

Pàgina/lloc  On diu  Ha de dir
289 / prob.3 b)  \begin{matrix}x + y + z & = & 0 \\ −x + y + z & = & 0 \\ −y + z & = & 0 \end{matrix} \}  \begin{matrix}x + y − z & = & 0 \\ −x + y + z & = & 0 \\ −y + z & = & 0 \end{matrix} \}

302 / punt 4  a + d = 1  a + d = −1
312 / pb.3 c)  _{{A′ = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) · \atop \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 & 4 \\ −4 & −7 \\ 1 & 4 \end{matrix} )}}  _{{A′ = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) · \atop ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 & 4 \\ −4 & −7 \\ 1 & 4 \end{matrix} )}}

319 / prob.1  {(−1, −1, 1)}  {(−2, −1, 1)}
334 / Soluc.  11-(d)  11-(c)

337 / Qüest.11 Això és equivalent a dir que ad − bc ≠ 0. La resposta correcta és (d)

Això és equivalent a dir que ad − bc = 0. La resposta correcta és (c)